Zadanie 16 - o kątach i rysowaniu

_images/matura2015_p16.png

Wiemy, że kąt wpisany jest dokładnie dwa razy mniejszy od środkowego więc zadanie sprowadza się do rozwiązania równania: \(2 x = x + 20\), gdzie \(x\) oznacza wartość kąta wpisanego:

I mamy nasze rozwiązanie!

Ale możemy pokusić się o geometryczną konstrukcje, wykorzystująca w Sage możliwość rysowania lini przechodzącej przez zadane punkty line i okręgów circle. Załóżmy, że okrąg ma promien jeden to do narysowania kąta środkowego potrzebujemy wzorów na współrzędne punktu na okręgu. Z pomocą przychodzą definicje sinusa i cosinusa i mamy:

\[\begin{split}\cos(\phi) = \frac{x}{r} \\ \sin(\phi) = \frac{y}{r}\end{split}\]

Czyli współrzędne punktu na okręgu jednostkowym będącego pod kątem \(\phi\) względem osi x wynoszą: \(\left(\cos(\phi),\sin(\phi)\right)\)

Hmmm, a co z drugą połową wykresu? Oczywiście mamy symetrię \(y\to-y\) - lub \(\phi\to-\phi\) więc wystarczy odbic względem osi x nasz rysunek. Moglibysmy dopisać odpowiednie komendy w funkcji dwa_katy, ale możemy postąpić chytrzej!. Zauważmy, że w funkcji dwa_katy możemy podać ujemną wartość kąta. Gdybyśmy mogli nałożyć na rysunek dla kąta \(\phi\) jego symetryczny odpowiednik dla \(-\phi\) do otrzymalibyśmy kompletną ilustracje. W Sage jest to niezwykle proste - objekty graficzne można do siebie dodawać, a nasza funkcja własnie zwraca objekt graficzny. Poeksperymentujmy sami zastępując ostatnią linię kodu przez:

(dwa_katy(phi0/180*pi)+dwa_katy(-phi0/180*pi)).show(figsize=5)