Zadanie 12 - o brutalnej metodzie i pętli for przyrządzonej na dwa sposoby

Ile liczb całkowitych spełnia nierówność \(\frac{2}{7}<\frac{x}{14}<\frac{4}{3}\)?

Zadanie może się wydawać zbyt łatwym by traktować je komputerem, ale możemy je wykorzystać by poćwiczyć sobie pętlę for.

I tak możemy sprawdzić („dla pewności”) wszystkie liczby z przedziału \(x\in(-1000,1000)\) wykorzystując system Sage, a właściwie sam język Python. Takie podejście czasem jest zwane metodą brute force - czyli brutalną zob. link . Zmuszamy bowiem komputer do brutalnie dużego wysiłku - przynajmniej w stosunku to złożoności postawionego problemu.

Uczyńmy to więc:

Oczywiście każdy matematyk zaprotestuje, nie mamy pewności czy nie ma liczb całkowytych poza przedziałem, które spełniają te nierówności. W tym przypadku mie ma problemu by rozwiązać w dziedzinie liczb rzeczywistych:

Ponieważ wykonaliśmy sprawdzenie każdej liczby z osobna, można również oszacować zakres. Skoro \(\frac{x}{14}\) jest większe od \(\frac{2}{7}\) to na pewno będzie większe od \(0\). Z drugiej strony jest mniejsze od \(\frac{4}{3}\) to będzie mniejsze też od np. \(2\). Czyli wychodzi ze \(x\) będzie większe od \(0\) i mniejsze od \(2 \times 14 = 28\). Okazało się, że poprzedni przedział nie zawęził poszukiwania!

Ja to działa? - „list comprehension” - produktowanie list

Wyrażenie [x for x in range(-1000,1000) if 2/7<x/14<4/3] zawiera konstrukcję która wykona następującę polecenie: podaj mi wszystkie x od -1000 do 999, które spełniają dany warunek. Jest to de facto pętla for, tylko tak sprytnie zapisana, że od razu generuje listę. Przypomina to nieco zapis matematyczny:

\[S=\{x\mid x \in \mathbb{N},\ \frac{2}{7}<\frac{x}{14}<\frac{4}{3}\,\}\]

Możemy również wykonać to samo zadanie bardziej klasycznie wyglądającą pętlą for: