Kinematyka

Pociąg przebył drogę ze stacji \(A\) do \(B\) w ciągu \(10\) minut, oblicz średnią prędkość jeśli odległość miedzy stacjami wynosi \(10\) km.”

Dana jest droga przebyta w czasie, a chcemy policzyć prędkość i przyśpieszenie. Zadanie to nie wykracza poza materiał ze szkoły średniej. Przypuśćmy jednak, że mamy dane wiecej niż szkolne dwa punkty pomiaru \(A\) i \(B\):

sage: t=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
sage: x = [0.96, 2.03, 2.88, 3.67, 5.71, 6.66, 8.19, 8.99]

Oblicznamy z drogi przędkośc korzystając ze wzoru na prędkość średnią:

(1)\[v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\]
sage: v=[]
sage: for i in range(0,len(x)-1):
...       v.append ((x[i+1]-x[i])/(t[i+1]-t[i]))
sage: line(zip(t[1:],v),figsize=4)
_images/cell_22_sage0.png

Podobnie możemy obliczyć z przyśpieszenia, prędkość lub odwrotnie stosując:

(2)\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]

Co nam daje algorytmiczne zautomatyzowanie powyższych rachunków?

Zyskiem jest możliwość przetworzenia dowolnej ilości danych. Jednym z fascynujących przykładów jest próba wykorzystania nowoczesnego telefonu jako źródła danych. Tak zwane smartfony maja wiele czujników - między innymi akcelerometr.

Eksperyment

Wyobraźmy sobie, że chcemy się dowiedzieć na jaką wysokość wjedzie winda w której przebywamy. Możemy dokonywać pomiaru przyśpieszenia, od momentu wejścia do windy, tzn. kiedy ona się jeszcze nie porusza, do momentu jej zatrzymania. Winda, z reguły dość szybko przyśpiesza do prędkości marszowej, porusza się ruchem jednostajnie prostoliniowym i hamuje. Jeżeli będziemy mierzyli chwilowe przyśpieszenie, najlepiej kilkaset razy na sekundę, do ze wzorów (1) i (2) będziemy mogli otrzymać informację o prędkości i drodze.

Pomiar dokonuje w następujący sposób. Bierzemy telefon komórkowy i po wejsciu do windy włączamy tzw. logger czujników (sensor logger). Z włączonym zapisem pomiarów kładziemy telefon na podłodze. Powinniśmy zdążyć zrobić do zanim winda ruszy. Następnie czekamy aż winda zatrzyma się, podnosimy telefon i zatrzymujemy zapis danych. Plik z danymi posłuży nam do dalszej analizy.

Weźmy realne dane z pomiaru akcelerometrem z telefonu komórkowego, który leżał na podłodze windy. Doświadczenie to może wykonać każdy samodzielnie - do czego gorąco zachęcamy. W takim przypadku, należy jednak pamiętać, że sposób zapisu danych może zależeć od programu (tzn. loggera) i być może trzeba będzie zmodyfikować sposób ich parsowania.

Pytanie brzmi: na jaką wysokośc wjechała winda?

Wczytajmy dane z eksperymentu (zostały one umieszczone na dropboxie):

Analizę danych można przeprowadzić korzystając z samodzielnie napisanego, kilkulinijkowego skryptu, który wykorzystując technikę interact umożliwi w wygodny sposób wybranie właściwego podzbioru danych.

Po pierwsze objerzyjmy dane, by wybrać moment w którym telefon leży na podłodze windy.

Mając wybrane zakresy dokonujemy przeliczeń, korzystając z:

\[v_{i+1} = v_{i}+a_i*\Delta t x_{i+1} = x_{i}+v_i*\Delta t\]

W ten sposób zaczynając od \(x_0=0\) i \(v_0=0\), możemy otrzymać zależność dorgi od czasu:

i oglądamy wyniki.

Po wykonaniu powyższego kodu można się przekonać, że winda zjechała w dół na ok. \(10\) m.