Zadziwiające przybliżenie

O scenariuszu

Prezentowany scenariusz jest wynikiem zajęć (zainspirowanych podręcznikiem „Matematyka się liczy” pod redakcją prof. Wacława Zawadowskiego) prowadzonych w III Liceum Ogólnokształcącym im. Stefana Batorego w Chorzowie. Przeznaczony jest do realizacji na dwóch godzinach lekcyjnych (po jednej na każdą z części).

Struktura materiału jest swego rodzaju rozmową z uczestnikiem zajęć: dopuszczamy więc podejście - także językowe - typu nieformalnego. Użyjemy komputera do zilustrowania prostego problemu, używając podstawowego programowania.

  • Dlaczego podstawowego?

Nie znamy się bowiem na Sage’u zbyt dobrze.

  • Dlaczego prostego?

Chcemy bowiem zafrapować zagadnieniem matematycznym uważanym za nudne. Większość uczniów nie lubi rachunków - my spróbujemy więc użyć komputera do powtórzeń żmudnych obliczeń. Być może doprowadzą nas one do zasygnalizowania pewnych nieporozumień w używaniu liczb.

Uwaga!

W każdym z okien programu można zmieniać liczby, tekst, zmienne lub cały kod. Nie trzeba się martwić, jeśli program przestanie działać, bo po odświeżeniu strony powróci do ustawień początkowych. Często następny kod wynika z poprzedniego, więc należy ćwiczenia (algorytmy) wykonywać według kolejności.

Lekcje prowadził Krzysztof Oleś.

Wstęp

Matematyka, coraz częściej uznawana za jedną z podstaw kształcenia, jest przedmiotem diagnozy związanej z osiągnięciami wychowanków wszystkich poziomów nauczania. Przeprowadzane także i w Polsce badania w ramach Programu Międzynarodowej Oceny Umiejętności Uczniów OECD PISA sugerują, że nierzadko polscy słabsi uczniowie radzą sobie z zadaniami lepiej niż słabsi uczniowie krajów OECD; lepsi uczniowie polscy jednak rozwiązują zadania gorzej niż lepsi uczniowie OECD. Tego typu sytuacja dotyczy najczęściej zadań o średnim poziomie trudności. Konieczną potrzebą jest więc budowanie i pogłębianie aparatu matematycznego, tak by nabywane umiejętności mogły być solidnym fundamentem rozwiązywania problemów matematycznych – przede wszystkim tych, które rozszerzają przewidziane w podstawie programowej treści nauczania. Komputer może naszym zdaniem w pozytywny sposób wpływać na analizowanie pojęć i struktur wprowadzanych na lekcjach klasycznych - prowadzonych (niestety?) jedynie za pomocą przysłowiowych: kredy i tablicy…

Scenariusz zajęć

Część pierwsza

Rozpocznijmy przybliżaniem pierwiastka kwadratowego liczby 2. Wykorzystamy algorytm (oparty na metodzie Newtona znajdowania miejsc zerowych funkcji) znany pod hasłem: metoda babilońska.

Czy wiemy

  • co znaczy zapis 2.12390141451912e-6?
  • jak zmieni się błąd przy zmianie n?

Zabaczmy jak szybki jest podany algorytm.

Zaraz, zaraz… Co mamy na myśli, używając słowa „szybki”?

Zróbmy pewnego rodzaju porównanie. Jedną z najbardziej popularnych liczb jest \(\pi\), użyjemy zatem algorytmu ją przybliżającego. Oprzemy się na wzorze podanym przez Wallisa w roku 1655:

\[\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^\infty\left(\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1}\right).\]

Wydaje się to dosyć skomplikowane - prawdopodobnie z powodu użycia dużego \(\pi\). A może poniższy zapis

\[\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\frac{8}{9}\cdot\cdots\]

jest prostszy?

Po prostu: duże \(\pi\) oznacza iloczyn nieskończony (coś w rodzaju wielu, wielu mnożeń…).

Jak to działa?

Męczące (można to sprawdzić na kartce papieru…) obliczenia przeprowadzi komputer.

Czy wiemy

  • co znaczy abs()?
  • co znaczy N()?
  • jak zmieni się błąd przy zmianie n?
  • ilu powtórzeń musimy użyć, by osiągnąć 3,14?

Zabaczmy jak szybki jest podany algorytm.

Możemy teraz porównać szybkość pierwszego i drugiego algorytmu oraz zadać niewygodne pytania:

  • Czy kiedykolwiek zastanawialiśmy się nad tym, jak nasz kalkulator przybliża liczby?
  • Może kalkulator kolegi robi to lepiej? Co znaczy „lepiej”?
  • Obliczaliśmy błędy - Sage musiał pierwiastek kwadratowy liczby 2 oraz \(\pi\) przybliżyć (nie są to liczby wymierne): czy Sage popełnił błąd? Jak duży?

Część druga

No dobrze, ale kto jest zainteresowany różnicami w przybliżeniach np. na piętnastym miejscu po przecinku?

Zajmijmy się zatem pewnym problemem geometrycznym.

Rozważmy walec wpisany w sześcian (podstawy walca są wpisane w równoległe ściany sześcianu). W rogu tegoż sześcianu umieszczamy stycznie do walca kulkę o maksymalnej objętości. Jaka jest ta objętość?

Jak widzimy długość krawędzi sześcianu wynosi 1

\[x, y, z \in (-0,5;0,5),\]

a walec związany jest z okręgiem o równaniu

\[x^2+y^2=0,25.\]

Ale skąd wzięto

\[r=\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}+2}?\]

Niech \(r\) oznacza promień szukanej kulki. Z prostego związku pomiędzy przekątną kwadratu oraz promieniami odpowiednich okregów otrzymujemy:

\[\frac{1}{2}\sqrt{2}=r\sqrt{2}+r+\frac{1}{2}\]
\[\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}=r\left(1+\sqrt{2}\right)\]
\[r=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}+2}\]

a szukana objętość jest równa

\[\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right)^3=\frac{\pi}{6}\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right)^3.\]

Wszyscy słyszeliśmy o przekształcaniu wyrażeń zawierających liczby niewymierne, zabierzmy się więc do żmudnej roboty…

\[\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right)^3=\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}\right)^3=\left(\sqrt{2}-1\right)^6,\]

ale

\[\left(\sqrt{2}-1\right)^6=\left(\left(\sqrt{2}-1\right)^2\right)^3=\left(3-2\sqrt{2}\right)^3,\]
\[\left(\sqrt{2}-1\right)^6=\left(\left(\sqrt{2}-1\right)^3\right)^2=\left(5\sqrt{2}-7\right)^2,\]

i ostatecznie

\[\left(\sqrt{2}-1\right)^6=\left(5\sqrt{2}-7\right)^2=99-70\sqrt{2}.\]

Niech

\[w_1=99-70\sqrt{2},\quad w_2=\left(5\sqrt{2}-7\right)^2,\quad w_3=\left(3-2\sqrt{2}\right)^3,\]
\[w_4=\left(\sqrt{2}-1\right)^6,\quad w_5=\left(\frac{\sqrt{2}-1} {\sqrt{2}+1}\right)^3.\]

Oczywiście \(w_1=w_2=w_3=w_4=w_5\), ale: czy jest jakaś różnica między \(w_1,\dots,w_5\) jeśli do pierwiastka kwadratowego liczby 2 będziemy się zbliżać? Zobaczmy…

Okazuje się, że różnice pomiędzy przybliżeniami są duże, jeśli za pierwiastek kwadratowy liczby 2 przyjmiemy 1,41 (wielu ludzi przyjmuje takie przybliżenie do części setnych). A co z: 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213 i tak dalej?

Różnice wciąż są duże, co możemy zobaczyć także na wykresach zwązanych z \(w_1,\dots,w_5\) funkcji.

Wróćmy zatem do rysunku zawierającego poszukiwaną kulkę.

Powinniśmy zmieniać

  • \(p\): 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213; nie zapomnijmy o sqrt(2),
  • \(r\): \(r_1,\dots,r_5\).

Zabaczmy pięć kulek jednocześnie.

Czy to nie dziwne?

Zakończmy nasze rachunki rozważeniem poszukiwanej objętości - ponieważ mamy dość przyglądania się dalekim miejscom po przecinku, przyjmijmy, że długość krawędzi sześcianu wynosi 60.

I znowu - powinniśmy zmieniać \(p\): 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213; nie zapomnijmy o sqrt(2).

I po raz kolejny: czy to nie dziwne? Może nie (?!), ale powyższy przykład pokazuje, jak bardzo należy uważać, wykorzystując w rachunkach przybliżenia.

Podsumowanie

Chcieliśmy pokazać, jak ważna jest różnica w użyciu wyrażenia algebraicznego w rodzaju

\[\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}+2}\]

a jego przybliżeń. Dlaczego?

Po pierwsze: ponieważ używamy liczb, które nie są wymierne, a oznacza to konieczność ich przybliżania. Próbowaliśmy pokazać dwa różne - jeśli chodzi o liczbę koniecznych do odpowiedniego przybliżenia powtórzeń - algorytmy. Zasugerowaliśmy znalezienie niemałej liczby koniecznych powtórzeń, by uzyskać przybliżenia liczby \(\pi\) przysłowiowym 3,14. Ponieważ jednak dziesiętne przybliżenia mogą nie wydawać się interesujące - zdecydowaliśmy się zobaczyć (!) ich wagę w problemie geometrycznym, w którym szczególną rolę odegrały przybliżenia pierwiastka kwadratowego liczby 2.

Po drugie: ponieważ w szkołach polskich mamy do czynienia z przewagą rozwiązań (np. równań) w postaci algebraicznej. Oznacza to, że maturalne rozwiązanie równania

\[7x^2+27x-31=0\]

powinno mieć postać

\[x_1=\frac{-27-\sqrt{1597}}{14},\quad x_2=\frac{-27+\sqrt{1597}}{14}.\]

Wydaje się, że warto czasem zwrócić uwagę na mentalną przepaść pomiędzy powyższymi „obrazkami” a poniższymi „liczbami”

\[x_1\approx -4,78303;\quad x_2\approx 0,92589.\]

Być może nasze rozważania dotyczą jedynie (?) różnic między znakami

\[{\Large{=}}\qquad\textrm{ oraz }\qquad{\Large{\approx}}\]