Od punktu do punktu

O scenariuszu

Prezentowany scenariusz jest wynikiem zajęć prowadzonych w III Liceum Ogólnokształcącym im. Stefana Batorego w Chorzowie. Przeznaczony jest do realizacji na dwóch godzinach lekcyjnych (po jednej na każdą z części), przy czym - co pokazały m.in. szkolne testowania na grupach uczniów oraz warszaty prowadzone dla grup nauczycieli - bardzo istotna jest możliwość przedyskutowania efektów zmian przedstawionych w części drugiej kodów. Struktura materiału jest swoistym dialogiem z uczestnikami zajęć, dopuszczamy więc podejście typu nieformalnego - najważniejsza jest dla nas bowiem możliwość eksperymentowania.

Lekcje prowadził Krzysztof Oleś.

Uwaga!

W każdym z okien programu można zmieniać liczby, tekst, zmienne lub cały kod. Nie trzeba się martwić, jeśli program przestanie działać, bo po odświeżeniu strony powróci do ustawień początkowych. Często następny kod wynika z poprzedniego, więc należy ćwiczenia (algorytmy) wykonywać według kolejności.

Wstęp

W roku 2005 wydawnictwo TIKKUN zaprezentowało Polakom książkę, która w roku 1976 zdobyła światowy rozgłos (ze względów politycznych – w Polsce była rodzajem podziemnej klasyki dla matematyków). Piszemy tutaj o „Dowodach i refutacjach” Imre Lakatosa, w których pokazano, istotność powątpiewania i stawiania hipotez. Wspomniany rok 1976 pojawia się także jeszcze w innym kontekście. Otóż właśnie w tym roku na łamach New York Timesa pojawiła się informacja o udowodnieniu (?) twierdzenia o czterech barwach – wykorzystano programy komputerowe i ostateczne wyniki pochodziły z zaprogramowanych obliczeń. Można oczywiście dyskutować nad tego typu dowodem. Wydaje się jednak, że nad potrzebą wykorzystywania komputera do stawiania hipotez dyskutować nie trzeba. I to chcemy naszym wychowankom pokazać, łącząc matematykę z całkowicie dla nich naturalnym środowiskiem komputerowym. Powątpiewanie może być twórcze, a zabawa (!) może wywoływać uśmiech odkrywania.

Przedstawiamy ponadto dodatek, który może być punktem wyjścia do rozważań związanych z próbą definiowania wymiaru obiektów fraktalnych.

Scenariusz zajęć

Część pierwsza

Pomyślmy przez chwilę o wykresie funkcji, np. \(f(x)=\log_x\left|4\sin\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)-6\right|\). To oczywiście ciągła linia, którą wyobrażamy sobie bez jakiegokolwiek problemu. Czyżby?

Stosując w naszych matematycznych podróżach SAGE’a, użyć możemy m.in.:

  1. wzoru konkretnej funkcji
  1. równania nazywanego „uwikłanym”
  1. postaci biegunowej

Czasem dostrzegamy pewne podobieństwa w wymienionych tu powyżej podejściach: w każdym z przypadków na ekranie komputera pojawia się zestaw punktów - jest on jednak ukryty w mniej lub bardziej skomplikowanej formule.

A może powinniśmy użyć najprostszej metody: od pukntu do punktu? Korzystając z rekurencji?

Pomyślmy o punkcie umieszczonym w układzie współrzędnych - da nam to możliwość połączenia geometrii z rozważaniami numerycznymi. Ważne będą dla nas możliwości eksperymentowania i komputerowych zabaw - prezentowane przykłady nie będą natomiast programistycznie skomplikowane.

Rozpocznijmy więc od umieszczenia na ekranie jednego punktu.

Właściwie to nic takiego - umieśćmy więc punktów pięć…

Po tym małym zaplanowanym błędzie punkty próbujemy dodać.

Zauważmy, że nawet przy użyciu ctr+c+ctrl+v zabiera to sporo czasu i aż ciężko jest nam myśleć o umieszczaniu na ekranie takim sposobem stu punktów - tym bardziej w sytuacji, w której możemy znaleźć pewną regularność w opisie ich drugich współrzędnych. Zatem: użyjmy jej.

Spróbujmy zmienić też rozmiar puktów oraz ich odcień.

Nie zapominajmy o możliwości umieszczenia pętli w pętli.

Patrząc na uzyskany efet, zauważamy pewien problem w „lewym” wierzchołku trójkąta - usuńmy go, poprawnie manipulując liczbami.

Część druga

Przejdźmy do losowania.

W powyższym przykładzie zauważamy specyficzny rodzaj chaosu… Czy możemy jednak punkty bardziej kontrolować?

Wyobraźmy sobie sytuację, w którym określony punkt początkowy \((a,b)\) przekształcany jest w wybranym losowo jednym z ośmiu przekształceń. Każde z nich składa się z dwóch części: liniowej operacji na pierwszej współrzędnej (trzy liczby \(a_i,b_i,c_i\)) oraz liniowej operacji na drugiej współrzędnej (trzy liczby \(d_i,e_i,f_i\)). Po przekształceniu otrzymujemy nowy punkt \((a,b)\) który przetwarzamy analogicznie - oczywiście nie poprzestajemy na dwóch punktach, komputer dokona setek powtórzeń.

Spójrzmy uważnie na kod źródłowy (szczególnie na linie zawierające #).

Przy stu powtórzeniach otrzymana figura wydaje się chaotyczna, dlatego też wykonaliśmy większą liczbę powtórzeń (proponujemy dalsze zwiększanie liczby d).

Czy układ punktów nie zaczyna nam czegoś przypominać?

Gdzieś w głowie powinien pojawić się nam dywan Sierpińskiego.

Poeksperymentujmy z tym tworem i spróbujmy odpowiedzieć na niełatwe pytania:

  • Czy generowana figura zależy od doboru punktu startowego?
  • Co stanie się, gdy zmieniać będziemy liczby \(a_i,b_i,c_i,d_i,e_i,f_i\)?
  • Co stanie się, jeśli np. jedno z ośmiu przekształceń „wyłączymy” i czy na pewno umiemy to w kodzie żródłowym zrobić?
  • Dlaczego dywan pokolorowany jest w taki a nie inny sposób?

Wydaje się, że odpowiedzi na te pytania (oparte na pewnych założeniach) będą zaskakujące, ale komputer się nie męczy - stawiajmy więc hipotezy…

Być może ciekawszym od dywanu będzie znany (prawie wszystkim) liść.

Przypuszczalnie dywan i liść pociągną nas do dalszego eksperymentu, w którym spróbujemy zapisać współczynniki w tabelach (poprzednie sposoby zapisu zachęcają do takiego rozwiązania).

A można by jakoś te nużące zapisy skrócić? Może np. tak:

Eksperymentujmy!

Dodatek

Wróćmy do dywanu Sierpińskiego. Czy jest to raczej rodzaj linii lub też coś w rodzaju połączonych kwadratów? Czy nieustanne (w naszej głowie) powtarzanie iteracji zbliża nas do bardziej normalnych kwadratów? Co oznacza „bardziej”?

Popatrzmy na niebieską linię poniżej - chciejmy ją zmierzyć zieloną linijką.

Oszacujmy długość niebieskiej linii. Niech \(M(\epsilon)\) oznacza długość mierzonej krzywej linijką długości \(\epsilon\) oraz \(L(\epsilon)\) przyłożeń tejże linijki. Zauważmy, że im mniejsze \(\epsilon\) tym szacowanie dokładniejsze. Zauważmy, że \(M(\epsilon)\approx\epsilon\cdot L(\epsilon)\) i

\[L(\epsilon)\sim\frac{1}{\epsilon}\]

(krótsza linijka oznacza większą liczbę jej przyłożeń). Jeśli powtórzymy nasze rozumowanie, rozważając pole zamiast długości, to „linijka” będzie kwadratem o boku długości \(\epsilon\) i

\[L(\epsilon)\sim\frac{1}{\epsilon^2}.\]

A co z objętością? Być może „linijka” będzie sześcianem i

\[L(\epsilon)\sim\frac{1}{\epsilon^3}.\]

Zatem

\[L(\epsilon)\sim\frac{1}{\epsilon^d}\]

i \(d=1\) (jeśli próbujemy oszacować długość), \(d=2\) (jeśli próbujemy oszacować pole), \(d=3\) (jeśli próbujemy oszacować objętość).

Spróbujmy dobrać się do \(d\).

\[L(\epsilon)\approx\left(\frac{1}{\epsilon}\right)^d,\]
\[\log L(\epsilon)\approx \log\left(\frac{1}{\epsilon}\right)^d=d\log\left(\frac{1}{\epsilon}\right),\]

i

\[d\approx\frac{\log{L(\epsilon)}}{\log\frac{1}{\epsilon}},\]

może zapiszmy to tak:

\[d=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\log{L(\epsilon)}}{\log\frac{1}{\epsilon}}?\]

(czy jest jakiś błąd w zamiennym użyciu znaków: \(\sim, \approx,=\)?).

Wygląda to dość dramatycznie - zobaczmy jak zadziała w przypadku dywanu Sierpińskiego. Figurę tą możemy (na pewno?!) pokryć 1 kwadratem o boku długości 1, 8 kwadratami o boku dłogości \(\frac{1}{3}\), 64 kwadratami o boku długości \(\frac{1}{9}\),…, \(8^n\) kwadratami o boku długości \(\left(\frac{1}{3}\right)^n\) i

\[d=\lim_{n\to\infty}\frac{\log8^n}{\log3^n}=\frac{\log8}{\log3}\approx1.893.\]

Dywan Sierpińskiego jest czymś między linią a powierzchnią: być może - przy okazji - zbliżyliśmy się trochę do pojęcia wymiaru… Rozwinięcie powyższej idei można znaleźć w scenariuszu Wymiar fraktalny.

Podsumowanie

W powyższym tekście trzy wyrażenia zapisaliśmy czcionką pogrubioną - chcielibyśmy do nich powrócić.

Regularność

Działania wspomagane Sage’em mogą uczniom pomóc w badaniu rekurencji (pewnej regularności powtarzanej wielokrotnie, dzięki komputerom bardzo wiele razy).

Pociągną

Warto naszym zdaniem pociągnąć (angielskie „to attract”) uczniów do koncepcji atraktora: fraktale to często atraktory - komputer może przecież pomóc w małych matematycznych odkryciach.

Na pewno

Należy podkreślić, że powyższe rozważania dotyczące wymiaru są tylko zasygnalizowaniem problemu - ale mogą budować uczniowską intuicję (która nie powinna być natychmiast zafrapowana problemem istnienia \(\lim_{\epsilon\to0}\dots\)).

A przy okazji - na samym końcu - warto postawić pytanie: gdzie jest granica między intuicyjną zabawą ucznia a poważnym rozumowaniem matematycznym?