Granica i ciągłość funkcji w punkcie

O scenariuszu

Scenariusz ten jest materiałem do przeprowadzenie 2h zajęć lekcyjnych.

Został on opracowany w ramach projektu iCSE4school na podstawie lekcji prowadzonych w latach 2015-2017 w XXXIII LO M. Kopernika w Warszawie.

Opracowanie scenariusza i prowadzenie lekcji: Mirosław Malinowski.

Uwaga!

W każdym z okien programu można zmieniać liczby, tekst, zmienne lub cały kod. Nie trzeba się martwić, jeśli program przestanie działać, bo po odświeżeniu strony powróci do ustawień początkowych. Często następny kod wynika z poprzedniego, więc należy ćwiczenia (algorytmy) wykonywać według kolejności.

Ciągi liczbowe - powtórzenie

  1. Co to jest ciąg liczbowy?
  2. Podaj definicję Cauchy’ego granicy ciągu liczbowego.
  3. Korzystając z własności granic ciągów liczbowych oblicz następujące granice:

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n} \right )\), \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{n} \right)\), \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{2n^2+n+1}{n^2- \frac{1}{2}n}\), \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{4n^2-n-1}{2n^2+3n}\)

  1. Przy pomocy pakietu SAGE oblicz granice ciągów podanych wyżej oraz narysuj ich wykresy.

Przykład:

Sprawdzimy zbieżność dwóch ciągów: \(\large a_n= 1 + \Large \frac{1}{n}\) oraz \(\large b_n= 1 - \Large \frac{1}{n}\)

Eksperymentuj z Sage!

Uruchom poniższą procedurę i zobacz efekty.

Wprowadzenie definicji Heinego granicy funkcji w punkcie.

Funkcja \(f(x)\) ma granicę lewostronną g w punkcie \(x_0\) (używamy zapisu \(\displaystyle \lim_{x\to x_0^-} f(x) = g\)), jeżeli dla każdego ciągu argumentów \((x_n)\) o wyrazach należących do przedziału \(x_n < x_0)\), zbieżnego do \(x_0\), ciąg wartości \((f(x_n))\) jest zbieżny do g .

\[\displaystyle \lim_{x\to x_0^-} f(x) = g \iff \forall (x_n) \in (a; x_0): \lim_{n\to\infty} a_n = x_0 \implies \lim_{n\to\infty} f(a_n) = g\]

Funkcja \(f(x)\) ma granicę prawostronną g w punkcie \(x_0\) (używamy zapisu \(\displaystyle \lim_{x\to x_0^-} f(x) = g\)), jeżeli dla każdego ciągu argumentów \((x_n)\) o wyrazach należących do przedziału \(x_n > x_0)\), zbieżnego do \(x_0\), ciąg wartości \((f(x_n))\) jest zbieżny do g .

\[\displaystyle \lim_{x\to x_0^+} f(x) = g \iff \forall (x_n) \in (x_0; a): \lim_{n\to\infty} a_n = x_0 \implies \lim_{n\to\infty} f(a_n) = g\]

Informacja

Funkcja \(f(x)\) ma granicę \(g\) w punkcie \(x_0\), jeśli istnieją granice lewostronna i prawostronna tej funkcji w punkcie \(x_0\) i \(\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=g\).

Przykład

Korzystając z definicji Heinego obliczymy granicę funkcji \(f(x) = \Large \frac{x}{x+1}\) w punkcie \(x_0 = 1\).

Zadanie 1

Wykorzystując podaną wyżej procedurę oblicz granice następujących funkcji:

  1. \(f(x) = \large \frac{x+2}{x-1}\) w punkcie \(x_0 = 2\)
  2. \(f(x) = \large \frac{x^2-3}{2x^2-1}\) w punkcie \(x_0 = 1\)
  3. \(f(x) = \large \frac{sinx}{x+1}\) w punkcie \(x_0 = \large \frac{\pi}{2}\)
  4. \(f(x) = \large \frac{x}{|x|}\) w punkcie \(x_0 = 0\)
  5. \(f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{for } x \le {0}\\ 2^x & \text{for } x>0 \end{cases}\) w punkcie \(x_0 = 0\)

Definicja ciągłości funkcji w punkcie.

Funkcja \(f\) jest ciągła w punkcie \(x_0\) wtedy, gdy dla każdego ciągu \((x_n)\) o wyrazach należących do pewnego otoczenia liczby \(x_0\), zbieżnego do \(x_0\):

  1. Istnieje granica \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)\).
  2. \(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)\)

Przykład

Zbadaj, czy funkcja \(f(x) = \begin{cases}x^2 -4 & \text{dla } x< x_0 \\ \sqrt{x}-4 & \text{dla } x \ge {x_0} \end{cases}\) jest ciągła w punkcie \(x_0=0\). Sprawdź, czy dana funkcja jest ciągła w innych punktach \(x_0\)?

Zadanie 2

Zbadaj czy następujące funkcje są ciągłe w podanych punktach.

  1. \(f(x) = |x+1|-x\) w punkcie \(x_0=-1\)
  2. \(f(x) = \begin{cases}|x+3|-1 & \text{for } x<x_0 \\ \cos{x} & \text{for } x \ge {x_0} \end{cases}\) w punkcie \(x_0=0\).
  3. \(f(x) = \begin{cases} \Large \frac{x^2+x-6}{x-2} & \text{for } x<x_0 \\ 3x-1 & \text{for } x \ge {x_0} \end{cases}\) w punkcie \(x_0=2\)
  4. \(f(x) = \begin{cases} -2 \sin{x} & \text{for } x< x_0 \\ \cos{x} & \text{for } x \ge {x_0} \end{cases}\) w punkcie \(x_0=\pi\)
  5. \(f(x) = \begin{cases} x \sin{\frac{1}{x}} & \text{for } x \ne x_0\\ 0 & \text{for } x =x_0 \end{cases}\) w punkcie \(x_0=1\)