1   Algebra liniowa

1.1   Liczby zespolone (interpretacja geometryczna).

_images/zespolony.png

Interpretacja geometryczna pierwiastka licznby zespolonej.

Zastosowania systemu algebry komputerowej oraz wizualizacji do liczb zespolonych.

Interaktywne materiały:

1.2   Wprowadzenie do układów równań liniowych

_images/geom_ukl.jpg

Interpretacja geometryczna układu trzech równań liniowych.

Przestrzeń wektorów kolumnowych nad ciałem \(\,K.\)
Geometryczna interpretacja oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych układów równań.
Doprowadzenie układu równań do postaci schodkowej poprzez operacje elementarne.

1.3   Algebra macierzy

_images/macierz.png

Struktura pewnej macierzy \(25\times25\).

Wprowadzenie macierzy jako prostokątnej tablicy elementów z pewnego ciała.
Definicja dodawania macierzy, mnożenia ich przez liczbę i mnożenia macierzy przez macierz.
Praktyczne operacje na wektorach i macierzach w systemie Sage.

1.4   Operacje na macierzach

Metoda eliminacji w zastosowaniu do macierzy.
Transpozycja macierzy. Macierze symetryczne i antysymetryczne.
Macierz odwrotna. Macierze elementarne. Macierze permutacji.
Algorytm praktycznego obliczania macierzy odwrotnej.
Rozkład LU i jego zastosowania.

1.5   Wyznaczniki

_images/wyznacznik.png

Geometryczna interpretacja wyznacznika.

Aksjomatyczna definicja wyznacznika. Rozwinięcie permutacyjne.
Rozwinięcie Laplace’a jako praktyczna metoda obliczania wyznacznika.
Własności i zastosowania wyznaczników.

1.6   Teoria i praktyka układów równań liniowych

1.7   Przekształcenia liniowe

_images/przeksztalcenie_liniowe.png

Geometryczna interpretacja przekształcenia liniowego.

Własności i zastosowania przekształceń liniowych.
Izomorfizm przestrzeni wektorowych.
Reprezentacja macierzowa przekształceń liniowych.

1.8   Przestrzenie unitarne

Iloczyn skalarny w przestrzeni zespolonej i rzeczywistej.
Definicja i przykłady przestrzeni unitarnych.
Nierówność Schwarza i jej konkretne realizacje.
Ortogonalność. Dopełnienie ortogonalne.
Baza ortogonalna i ortonormalna. Procedura Grama-Schmidta.
Macierze hermitowskie i unitarne.
Operatory hermitowskie i unitarne.

1.9   Wartości i wektory własne

Definicja problemu własnego operatora liniowego.
Rozwiązanie problemu własnego w przestrzeniach skończenie wymiarowych.
Wartości i wektory własne operatorów hermitowskich i unitarnych.

1.10   Rozkłady macierzy LU,RU, SVD.

_images/svd_kompresja.gif

Kompresja obrazu z wykorzystaniem rozkładu SVD

2   Analiza matematyczna

2.1   Funkcje jednej zmiennej

_images/funkcja.png

Wykres parametryczny intrygującej krzywej.

Wizualizacja przebiegu zmienności funkcji jednej i wielu zmiennych.
Krzywe parametryczne.

2.3   Transforma Fouriera

_images/fft.png

Transformata Fouriera.

Dyskretna transformata Fouriera.
Związek DFT z transformatą ciągłą.
DFT jako przekształcenie unitarne.
Własności DFT - wizualizacja i eksperymentowanie.

2.4   Pierwiastki wielomianów i zera funkcji.

_images/newton.png

Zaskakujące własności metody Newtona dla funkcjie \(f(x)=x^3-2x-2.\)

2.6   Definicja całki oznaczonej, metody numeryczne obliczania całki oznaczonej,w tym metoda prostokątów oraz metoda trapezów.

_images/calka.png

Ilustracja sumy Riemana

2.7   Funkcje wielu zmiennych: całki wielokrotne, krzywoliniowe, rachunek różniczkowy f. wielu zmiennych.

3   Biofizyka tkanek. Molekularne procesy zachodzące w tkankach

3.1   Transmisje impulsów nerwowych: Model Hodgkina-Huxleya.

_images/HH.png

Wynik symulacji model Hodgkina-Huxleya.

3.2   Motory molekularne – wstęp do analizy ich działania w oparciu o strukturę molekuł.

Ruch we fluktuującym potencjale okresowym o złamanej symetrii jest archetypem w modelowaniu motorów molekularnych.

Opis motorów molekularnych. Motory biologiczne w komórkach. Skale wielkości fizycznych w komórce bilogicznej. Mechaniczne modele motorów molekularnych.

3.3   Modelowanie wzrostu guza nowotworowego

_images/guz.png

Ewolucja czasową zmiany liczby komórek nowotworowych dla róznych warunków początkowych.

Jedna z najprostszych metod modelowania wzrostu komórek nowotworowych uwzględniajaca dwa elementy:

  • proces wzrostu komórek nowotworowych - analogicznie do modelu Verhulsta;
  • proces śmierci komórek nowotworowych przez czynniki zewnętrzne np. system immunologiczny.
  • Wzrost guza nowotworowego

3.4   Struktury aminokwasów, białek, DNA, RNA.

5   Elektrodynamika klasyczna

5.1   Transformacja Lorenza.

_images/transform_lorentza_350px.png

Geometryczne przedstawienie transformacji Lorentza

Transformacje Lorentza przedstawione zostały w wyjątkowo prosty sposób, bazujący na szkolnych przekształceniach geometrycznych. Wykorzystując interaktywne możliwości sage’a, szybko znajdziemy długość i czas w układzie poruszającym się i bez problemu stwierdzimy niezmienniczość interwału zdarzeń w przestrzeni Minkowskiego.

Na przykładzie dwóch rakiet poruszających się w przeciwne strony, rozważamy słynny paradoks stodoły i drabiny, będący pozorną konsekwencją szczególnej teorii względności. Czy w jednym układzie odniesienia pocisk trafia w rakietę, a w drugim już nie? Do poprawnej konkluzji dochodzimy rozważając szczegółowo linie świata poszczególnych zdarzeń i ich odległości czasoprzestrzenne.

5.2   Fale elektromagnetyczne, superpozycja.

5.3   Szczególna Teoria Względności: zastosowanie techniki ray tracing.

5.4   Ogólna Teoria Względności: soczewkowanie grawitacyjne.

Stożki światła dla metryki Schwarzschilda

5.5   Równanie Poissona

Numeryczne rozwiązanie dwuwymiarowego równania Poissona

Materiał ten zawiera opracowanie numerycznego podejścia do rozwiązywania równania Poissona metodą różnic skończonych. Krok po kroku zaprezentowano sposób konstrukcji od jedno-, dwu- i trójwymiarowego dyskretnego operatora Laplace’a oraz jego wydajną reprezentację na macierzach rzadkich wykorzystując do tego bibliotekę scipy.sparse.

5.6   Dipole i multipole

6   Elektryczność i magnetyzm

6.1   Natężenie pola elektrycznego.

6.4   Obwody prądu zmiennego

RLC

Analiza własności obwodów prądu zmiennego z zastosowaniem aparatu algebry komputerowej i metod numerycznych do rozwiązywania równań różniczkowych

Metoda potencjałów węzłowych (ang. node method), czyli jak w prosty sposób analizować układy elektryczne, śledząc napięcie i natężenie prądu w węzłach obwodów. Wykorzystując tę metodę zapiszemy równania różniczkowe dla obwodów RC, RL oraz RLC i wykonamy symulację przebiegu natężenia oraz napięcia prądu w tych obwodach. Na koniec przedyskutujemy również zjawisko rezonansu w układzie RLC.

6.5   Pomiary i symulacje komputerowe wiekości elektrycznych

Wyznaczanie oporu elektrycznego za pomocą analogowych mierników prądu Układy do poprawnego mierzenia napięcia i natężenia prądu za pomocą mierników. Cechowanie watomierza i licznika energii elektrycznej Praca i moc prądu elektrycznego, watomierz i licznik energii elektrycznej

6.6   Doświadczalne badanie własności obwodów prądu zmiennego

_images/7.2.1.png

Krzywa rozładowania.

Wyznaczanie pojemności kondensatora z krzywej rozładowania Rozwiązanie równania różniczkowego opisującego charakterystykę rozładowania kondensatora przez opór i wykorzystanie rozwiązania do doświadczalnego wyznaczenia pojemności kondensatora

Wyznaczanie współczynnika samoindukcji i pojemności za pomocą obwodów prądu zmiennego Prądy zmienne sinusoidalne, przesunięcie fazowe, zawada, opór omowy, opór indukcyjny i pojemnościowy, współczynnik samoindukcji

Pomiar napięcia i prądu w obwodzie RC Obwód RC, charakterystyka ładowania i rozładowania kodensatora

Badanie obwodów rezonansowych RLC Szeregowe i równoległe obwody RLC, rezonans w obwodach RLC

6.7   Eksperymentalne badanie siły Lorenza

Wyznaczanie wartości stosunku e/m. Ruch elektronu w polu elektrycznym i magnetycznym, siła Lorentza. Siła działająca na przewodnik z prądem w polu elektrycznym Siła Lorentza, waga prądowa.

6.8   Siła elektromotoryczna

_images/7.9.3.png

Wyznaczanie siły elektromotorycznej i oporu wewnętrznego ogniwa Drugie prawo Kirchhoffa, siła elektromotoryczna, opór wewnętrzny, charakterystyka prądowo-napięciowa.

Pomiar SEM fotoogniw za pomocą kompensatora prądu stałego Zjawisko fotowoltaiczne, siła elektromotoryczna ogniwa fotowoltaicznego, sprawność konwersji energii słonecznej na elektryczną.

Indukcja elektromagnetyczna Zjawisko indukcji elektromagnetycznej, prawo Faradaya, siła elektromotoryczna, samoindukcja.

6.9   Pojemność kondensatora

_images/7.10.1.png

Wyznaczanie pojemności kondensatora oraz stałej dielektrycznej metodą mostkową Obwody prądu zmiennego, pojemność kondensatora, stała dielektryczna.

Drgania relaksacyjne Obwody RLC, drgania relaksacyjne w obwodach RLC.

6.10   Badanie_wektorowego_dodawania_napiecia

Badanie wektorowego dodawania napięć zmiennych w obwodzie RLC Obwody RLC, wektorowe dodawanie napięć

6.11   Pole elektryczne

Numeryczne rozwiązanie dwuwymiarowego równania Poissona

Analiza i wizualizacja pola elektrycznego pochodzącego od ładunków punktowych. Nacisk został położony na wykorzystanie algebry komputerowej do prostej automatyzacji algorytmicznej otrzymywania formuł i wizualizacji. W przypadku ciągłego rozkładu ładunku została zastosowana algebra komputerowa do otrzymania klasycznych wzorów.

6.12   Potencjal elektryczny

Potencjał od naładowanego dysku

Analiza i wizualizacja powierzchni ekwipotencjalnych pochodzących od ładunków punktowych . Nacisk został położony na wykorzystanie algebry komputerowej do wyprowadzania wzorów i wizualizacji. Klasyczne formuły na potencjał pochodzący od pewnych symetrycznych ciągłych rozkładów ładunków zostały wyprowadzone stosując CAS.

6.13   Energia układów ładunków

Układ ładunków

Obliczanie energii skończonych i nieskończonych układów ładunków z zastosowaniem zarówno metod algebry komputerowej jak i podejsciem algorytmicznym. Wykorzystano możliwości Sage do alternatywnego rozwiązywania szeregu klasycznych zadań.

6.14   Eksperymentalne badanie pola elektrycznego

Badanie rozkładu pola elektrycznego Natężenie pola elektrycznego, potencjał pola elektrycznego, powierzchnie ekwipotencjalne

6.15   Pole Magnetyczne

  • Pole magnetyczne pochodzące od poruszających się ładunków, pętla przewodnika, solnenoid.
  • Indukcja elektromagnetyczna, dokłane obliczanie strumienia pochodzącego od układu dipoli magnetycznych.

6.16   Ładunek i materia: oddziaływania ładunek-sieć.

_images/iCSE_FElekmag16_z316_ladunak_siec.png

Układ ładunek - sieć

Zastosowanie metod komputerowych do analizy i wizualizacji układów ładunek-sieć krystaliczna. Pomimo swojej prostoty, własności takiego układu są trudne do przedstawienia analitycznego a zastosowanie komputera powoduje przeniesienie środka ciężkości analizy na własności fizyczne.

6.17   Ładunek i materia: oddziaływania dipol-sieć dipoli.

_images/iCSE_FElekmag17_z317_ladunak_dipol.png

Układ ładunek - dipol

Zastosowanie metod komputerowych do analizy i wizualizacji dipola oddziaływującego z siecią ładunków bądź dipoli. Sage okazuje się jest idealnym narzędziem do pokazania, własności takiego układu w sposób ścisły, ale bez żmudnych rachunków.

7   Komunikacja z przyrządami pomiarowymi

7.1   Standardy interfejsów szeregowych RS-232, 422, 485, USB

_images/FPomiar01.png

Schemat pełnego przewodu połączeniowego typu Nullmodem

Przykłady współczesnych interfejsów szeregowych. Zalety i wady transmisji szeregowej. Połączenia syncho- i asynchroniczne. Połączenia bezkolizyjne i kolizyjne wraz z przykładową kontrolą przepływu. Sygnały różnicowe jako metoda usuwania szumów. Struktura znaku i parametry transmisji w interfejsie RS-232. Znaczenie kodów ASCII w transmisji szeregowej. Transmisja przy użyciu ramek. Proste metody korekcji błędów.

7.2   Tworzenie oprogramowania do komunikacji szeregowej w języku C.

_images/FPomiar02.jpg

Oprogramowanie portu szeregowego na przykładzie mikroprocesora MSP-430

Realizacja prostego urządzenia pomiarowego w oparciu o powszechnie dostępne i tanie mikrokontrolery. Przykład oparty będzie na odczycie temperatury z termometru wbudowanego w miktrokontroler TI MSP430. Przygotowanie kodu obejmuje określenie optymalnych parametrów transmisji oraz ustawień miktrokontrolera. W szczególności ćwiczenie obejmie obliczanie dzielników zegara potrzebnych do uzyskania danej szybkości transmisji oraz tworzenia przykładowych ramek wraz z sumami kontrolnymi. Kod w języku C prezentował będzie część transmisyjną oprogramowania w 3 różnych wersjach:

  1. wersji opartej na porcie ogólnego przeznaczenia i liczniku, bez użycia przerwań,
  2. wersji opartej na porcie ogólnego przeznaczenia, w której czas odmierzany jest przy użyciu przerwania,
  3. w wersji używającej wbudowanego w układ modułu UART.

7.3   Komunikacja szeregowa w języku Python.

_images/FPomiar03.png

Komunikacja szeregowa w Pythonie - prosta, łatwa i przyjemna

Moduł w miarę możliwości może być realizowany poprzez arkusz SAGE pod warunkiem, że student może go uruchomić lokalnie. Program domyślnie napisany będzie w Python 2.6 - 2.7 z podkreśleniem różnić w zapisie ciągów pomiędzy Pythonem2 a Py3k. Moduł zawiera:

  1. Identyfikację portów szeregowych w systemach Linux i Windows,
  2. opis i konfiguracje modułu serial (pyserial),
  3. przygotowanie ramki transmisyjnej wraz z sumą kontrolną,
  4. prostą kontrolę przepływu opartą na metodzie poll
  5. różnice między typami str, bytes, unicode, bytearray

7.4   Komunikacja z podstawowymi przyrządami pomiarowymi.

_images/FPomiar04.png

Przykładowy pomiar oporu elektrycznego nadprzewodnika \(Fe_{1.1}Te_{0.9}S_{0.1}\) wykonany przy użyciu Lakeshore 340 i HP34401A.

W module opisane będą przykładowe programy napisane w różnych językach programowania Python (Linux, Windows), Visual Basic .Net lub C# (Windows) służące do komunikacji z:

  1. multimetrem HP (Agilent)
  2. kontrolerem temperatury Lakeshore 340/330
  3. przystawkami temperaturowymi

8   Matematyczne metody biofizyki

8.1   Układy dynamiczne w biofizyce.

Kilka rozwiązań modelu Verhulsta

Wstęp do metody budowania modeli z zakresu dynamiki populacyjnej na prostych przykładach: procesów urodzin, śmierci i migracji.

8.2   Fraktale, algorytmy otrzymywania, własności.

Kilka rozwiązań modelu Verhulsta

Podstawowe definicje (wymiar podobieństwa, wymiar Hausdorffa). Przekształcenia afiniczne. Samo-niezmienniczość. Konstrukcja zbioru Cantora (algorytmy, wizualizacja).

Podstawowe fraktale: dywan i trójkąt Sierpińskiego, krzywa Kocha, krzywa Peano, krzywa C Levy’ego, smok Heighwaya, paproć Barnsleya, zbiór Julii, zbiór Mandelbrota. IFS, wizualizacje, obliczanie wymiaru fraktalnego. Zadania.

8.3   Równanie dyfuzji i reakcji z dyfuzją: numeryczne metody rozwiązywania.

Rozwiązanie układu Bielousowa-Żabotyńskiego

Przedstawione są schematy całkowanie równań parabolicznych równań różniczkowych typu dyfuzji i reakcji z dyfuzją (RDS). Nacisk położony jest na zrozumienie podstaw algorytmu oraz na prostą i efektywną implementację w środowisku python.

9   Mechanika klasyczna

9.1   Kinematyka punktu materialnego, analiza i wizualizacja rozwiązań równań ruchu.

Prosty przykład komputerowej obróbki realnych danych pochodzących z akcelerometra wbudowanego w telefon komórkowy.

9.2   Dynamika punktu materialnego.

Rozwiązywanie probemów i zadań z mechaniki z użyciem systemu algebry komputerowej.

9.3   Ruch układów punktów materialnych.

Analiza ruchu układów punktów materialnych z użyciem systemu algebry komputerowej.

9.4   Drgania - numeryczne rozwiązania równań ruchu.

Rozwiązanie numeryczne układu Fermiego-Pasty-Ulama

Zbiór problemów obejmujących liniowe i nieliniowe drgania w układach jednowymiarowych i wielowymiarowych. Klasyczne zagadnienia drgań normalych czy liniowej sieci oscylatorów zostały poszerzone o wnikliwą analizę trudnego zagadnienia - problemu Fermiego-Pasty-Ulama.

9.5   Rozwiązywanie równań ruchu z więzami

Rozwiązanie numeryczne układu Fermiego-Pasty-Ulama

Zastosowanie systemu algebry komputerowej (CAS) do problemów wykorzystujących zasadę dAleberta. Materiał zawiera metodologię pracy wykorzystującą częściową automatyzacje generacji równań ruchu, tak by z jednej strony uniknąć powtarzania niepotrzebnych definicji a z drugiej strony cały kod był w dydaktyczny sposób podany dla czytelnika.

9.6   Chaos deterministyczny - wprowadzenie.

Chaotyczna trajektoria w układzie Lorenza

Chaos deterministyczny jest zjawiskiem, które jest badane przede wszystkim metodami komputerowymi, co powoduje, że brak go w klasycznych podręcznikach. Poniższe materiały prezentują analizę komputerową tego zjawiska.

9.7   Modelowanie realistycznych układów mechnicznych

_images/phugoid.gif

Tor lotu szybowca z “zablokowanym drążkiem” w zależności od prędkości początkowej.

Modelowanie różnych układów fizycznych wymagające zastosowania metod numerycznych. Klasycznym podejsciem było omijanie tego typu probemów, z powodu ograniczonych możliwości analizy bez zastosowania metod komputerowych. Mając do dypozycji potężne narzędzie w postaci Sage z wszystkimi wbudowanymi metodami numerycznymi możemy analizować realistyczne problemy.

9.8   Własności akustyczne materii

Rezonans akustyczny Fala dźwiękowa, powstawanie fal stojących, rezonans akustyczny.

9.9   Eksperymentalne badanie dynamiki bryły sztywnej

Wyznaczanie gęstości za pomocą piknometru Gęstość, siła wyporu, prawo Archimedesa. Wyznaczanie momentu bezwładności. Dynamika bryły sztywnej, wahadło torsyjne, moment bezwładności. Dynamika ruchu obrotowego Moment siły, moment pędu, moment bezwładności

9.10   Eksperymentalne badania ruchu obrotowego

Ruch w polu centralnym Opis ruchu ciał w polu centralnym, w przypadku sił przyciągających i odpychających.

9.11   Zderzenia sprężyste i niesprężyste

_images/10.11.1.png

Zderzenia

Stół powietrzny - zderzenia sprężyste i niesprężyste. Zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii, zderzenia sprężyste centralne i niecentralne. Dynamika ruchu postępowego Zasady dynamiki Newtona, stół powietrzny

9.12   Oscylator harmoniczny

_images/rezonans.png

Zjawisko rezonansu

Klasyczny oscylator harmoniczny jest jednym z najczęściej stosowanych modeli w fizyce. Przedstawiamy sposób otrzymania znanych wzorów wykorzystując w pełni system algebry komputerowej zawarty w Sage. Przy okazji pokazujemy pułapki, w które można wpaść nieumiejętnie wykorzystując narzędzia komputerowe.

9.13   Numeryczna analiza układów mechanicznych

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/Rollercoaster_dragon_khan_universal_port_aventura_spain.jpg/800px-Rollercoaster_dragon_khan_universal_port_aventura_spain.jpg

Wielokrotne pętle w hiszpańskim “Dragon Khan” w Salou (źródło: Wikipedia)

Modelowanie różnych układów fizycznych wymagające zastosowania metod numerycznych.

9.14   Teoria bryły sztywnej

Położenie bryły sztywnej. Kąty Eulera. Prędkośc i przyspieszenie.
Moment pędu. Moment bezwładności i tensor momentu bezwładności.

9.15   Doświadczalne badanie drgań

Połączenie symulacji z eksperymentem:

  1. pomiar rezonansu i dudnień układu dwóch wahadeł.
  2. Symulacja w sage - analiza równań różniczkowych, rozwiązanie dla układu pomiarowego.

10   Mechanika kwantowa

10.1   Równanie Schrodingera

_images/schrodinger2d.png

Funkcje własne cząstki w pudle potencjału..

Numeryczna analiza równania ruchu w mechanice kwantowej na wybranych przykładach: funkcja falowa - pakiety falowe, propagacja pakietu falowego, przejscie przez bariere, tunelowanie.

10.2   Kwantowy oscylator harmoniczny

_images/Qoscylator.png

Funkcje własne oscylatra kwantowego.

Cząstka kwantowa w jednowymiarowym potencjale typu \(~x^2\) zwany kwantowym oscylatorem harmonicznym. W tym materiale zostały opracowane wizualizacje funkcji własnych oscylatora harmonicznego. Pomimo, że dysponujemy dokładnymi rozwiązaniami algebraicznymi, to prezentujemy porównanie z precyzyjną i wydajna numeryką. Ponadto rozwiązane jest też czasowe równania Schrodingera i została wykonana wizualiacja ewolucji funkcji falowej. Pokazano też ewolucję stanów Glaubera.

10.3   Alternatywne metody rozwiązywania równania Schrodingera

Ilustracja rozwiązania równania Schrodingera jako zagadnienia początkowego

10.4   Kwantowe układy otwarte

Układ kwantowy oddziałujący z otoczeniem - modele. Otwarte układy dwu-poziomowe. Dyfyzja kwantowa. Dekoherencja: dysypacja i defazing.

11   Metody matematyczne fizyki

11.1   Pola skalarne i wektorowe

_images/isosurfaces.png

Powierzchnie stałego pola.

Materiały analizujące własności pół skalarnych i wektorowych oraz ich wizualizacje komputerowe:

  • Wstęp do metod wizualizacji pól wektorowych na płaszczyźnie i w przestrzeni: wizualizacja pól.
  • Własności pola wektorowego o współczynnikach liniowo zależących od współrzędnych: pole liniowe.
  • Numeryczne obliczanie całek krzywoliniowych: całki krzywoliniowe.

11.2   Operatory różniczkowe dla pól skalarnych i wektorowych.

_images/flux.png

Strumień przez zamknięty kontur.

Materiały analizujące własności operatorów różniczkowych z zastosowaniem algebry komputerowej i wizualizacji komputerowej:

  • Wyprowadzenie wzorów na dywergencję i rotację pola we współrzędnych kartezjąńskich oraz podstawowe własno`Własności tych operatorów operatory różniczkowe
  • Operatowy różniczkowe we współrzędnych krzywoliniowych - podejście wykorzystujące współczynniki Lame’go oraz algebrę komputerową:Lame

11.3   Rozwiązywanie równania splotowego

Opracowana została procedura rozwiązywania równania splotowego, która ma szczególne znaczenie dla analizy sygnałow pochodzacych z metod spektroskopowych i dyfrakcyjnych.

11.4   Równania różniczkowe cząstkowe: Laplace’a, falowe, Fokkera-Plancka

Wstęp do równań różniczkowych cząstkowych spotykanych w fizyce. Metody rozwiązywania równań rózniczkowych cząstkowych: metoda rozdzielenia zmiennych; metoda transformacji Fouriera. Funkcje Greena i propagatory. Do każdego z równań dodany jest podstawowy algorytm numerycznu umożliwiający interaktywne badanie właności rozwiązań.

Propagacja implulsu w równaniu falowym

11.5   Fale w fizyce

Zjawiska falowe są wszechobecne czego przykładem są fale elektromagnetyczne, fale dźwiękowe (akustyczne) i fale sprężyste (mechaniczne). Można powiedzieć, że nasze otoczenie wypełnione jest falami. Fale są wykorzystywane gdy słuchamy radia, oglądamy telewizję, dzwonimy telefonami komórkowymi do znajomych, używamy bezprzewodowego internetu, używamy “pilotów” do zamykania bram, włączania i wyłączania urządzeń telewizyjnych.

11.6   Wielomiany ortogonalne

_images/H6.png

Wielomian Hermite’a \(H_6(x)\).

Podstawowe własności wielomianów ortogonalnych. Wizualizacje oraz algorytmy liczące wielomiany ortogonalne.

12   Metody statystyczne

12.1   Rachunek błędów.

_images/bledy.png

Pomiar wielkości fizycznej.

Podstawowy rachunku błędów opracowane z Sage.

12.2   Podstawowe parametry rozkładu zmiennej losowej.

Opracowanie interaktywnych wizualizacji oraz praktycznych zadań wykorzystujących system komputerowy Sage w celu nabycia doświadczenia we elementarnych własnościach zmiennych losowych.

12.3   Rozkłady prawdopodobieństwa.

_images/histogram.png

Histogram danych o rozkładzie normalnym.

Praktyczne zadania dla studentów oraz interaktywne materiały wizualizacyjne mające na celu nabycie przez studenta intuicji w posługiwaniu się pojęciem rozkładu prawdopodobieństwa. Automatyczna generacja danych losowych do zbadania przez studenta.

12.4   Generatory zmiennych losowych.

_images/odrzucanie.png

Metoda odrzucania.

12.5   Analiza błędów eksperymentalnych w praktyce

Ilustrowana przykładami instrukcja przeprowadzenia analizy błędów pomiarowych z wykorzystaniem wbudowanych mechanizmów Sage. Procedura opracowana pod kątem studentów wykonujących ćwiczenia w ramach pracowni fizycznych opracowywujących wyniki pomiarów w Sage.

12.6   Wstęp do analiz statystycznych w środowisku R

_images/Rplot.png

Wykres z R w systemie Sage.

Wprowadzenie do środowiska R. Parametryczne i nieparametryczne statystyki opisowe, podstawowe testy statystyczne, modele regresji liniowej.

Opracowanie wykorzystuje system notatnika w Sage z funkcjonalnością interpretera języka R.

13   Mikrokontrolery

13.1   Programowanie mikrokontrolera ARM

Sposoby programowania układu z mikroprocesorem CortexM4f, mającym szerokie zastosowania w automatyce. Przedstawione zostaną metody kompilacji i wgrywania kodu do układu.

13.2   Systemy czasu rzeczywistego

Omówienie podstawowych własności i możliwości systemów czasu rzeczywistego (RTOS): zarządzanie czasem procesora, wątki, przerwania. Charakterystyka systemu ChibiOS i jego przykładowe zastosowania.

13.3   Interfejsy czujników cyfrowych w systemach wbudowanych

Interfejsu 1-wire, płytka Arduino Mini Pro z procesorem ATMega 328. Omówiony zostanie sposób podłączenia czujnika temperatury DS18B20 (1-wire) oraz komunikacja między układem STM32f4 i Arduino poprzez port szeregowy.

Sposób podłączenia i obsługi czujnika ciśnienia Honeywell MLH010BGT14A do Arduino Mini Pro. Arduino pełni funkcję interfejsu komunikacyjnego dla układu STM32f4 - Discovery.

13.4   Przetwornik analogowo-cyfrowy w systemach wbudowanych

Przedstawione zostaną informacje na temat przetworników ADC. Pokażemy sposób zbierania i wizualizacja danych z przetwornika w pakiecie Sage. Omówiony zostanie wpływ częstotliwości próbkowania na możliwości układu pomiarowego.

13.5   Przetwarzanie sygnału na systemach wbudowanych: filtry FIR

Przedstawione zostaną podstawowe informacje na temat filtrów FIR i IIR. Pokażemy obróbkę sygnału za pomocą filtru pracującego na układzie STM32f4. Wizualizacja wyników filtracji zostanie wykonana w SAGE.

13.6   Zautomatyzowany pomiar i analiza temperatury z zastosowaniem systemów wbudowanych

Pokażemy praktyczne zastosowanie mikrokontrolera typu ARM do zbierania i przetwarzania danych z termometru cyfrowego DS18B20. Omówimy import danych z czujnika do Sage.

13.7   Pomiar ciśnienia na systemach wbudowanych i zastosowania.

Pokażemy praktyczne zastosowanie mikrokontrolera typu ARM do zbierania i przetwarzania danych z czujnika ciśnienia Honeywell MLH010BGT14A. Pokazane i omówione zostanie cechowanie czujnika.

13.8   Elementy cyfrowego przwtwarzania sygnału

Przedstawione zostaną podstawowe pojęcia związane z cyfrowym przetwarzaniem sygnału: alogrytmy DFT i FFT, filtry cyfrowe FIR. Zaprezentowane zostanie wykorzystanie Sage do realizacji filtru FIR.

13.9   Obsługa na systemie wbudowanym akcelerometru.

Wykorzystanie ChibiOS/RT do obsługi akcelerometru LIS3DSH/LIS302DL i transferu danych przez złącze USB. Do zbierania danych i ich wizualizacji zostanie wykorzystany pakiet Sage.

13.10   Arduino.

Opracownie praktycznego wstępu do programowania obiektowego systemu klasy Arduino z wykorzystaniem peryferiów zawierający sensory i aktuatory.

14   Nanotechnologia

14.1   Grafen

Sieć rzeczywista i odwrotna grafenu. Pierwsza strefa Brilluoina, punkty symetrii. Analityczne i numeryczne wylicznenie relacji dyspersyjnej. Opis równaniem Diraca. Gęstość stanów.

14.2   Studnie potencjału w nanotechnologii

14.3   Prądy trwale w nanoskopowych pierścieniach

Analiza numeryczna zjawisk równowagowych prądów trwałych w pierścieniach nanoskopowych w stałym polu magnetycznym.

15   Mechanika płynów metody eksperymantalne i obliczeniowe

15.1   Elementy składowe równań dynamiki płynów - równanie adwekcji i dyfuzji

_images/nieliniowa_konwekcja.png

Propagacja warunku początkowego w równaniu nieliniowej adwekcji.

Wstęp do równania Naviera Stokesa. Opracowanie krok po kroku, metod rozwiązywania numerycznego prostych algorytmów dla równań zawierającyc istotne elementy równań przepływów - równań adwekcji liniowej i nieliniowej oraz równania dyfuzji.

15.2   Elementy składowe równań dynamiki płynów - równanie Poissona i Naviera-Stokesa

_images/cavity1.png

Przepływ w zagłębieniu.

Implementacja rozwiązywania równania Poissona, jako niezbędnego etapu całkowania równań Naviera-Stokesa. Opracowanie konstrukcji schematu rozwiązywania równania NS na przykładzie prostego układu dwuwymiarowego.

15.3   Metoda Siatkowa Boltzmanna - wstęp praktyczny

15.4   Klasyczne problemy dynamiki cieczy rozwiązywane na GPU metodą LBM

15.5   Współczynnik lepkości cieczy

Prawo Stokesa i jego ograniczenia; numeryczna analiza ruchu; pomiar czasu spadania kul w rzeczywistej cieczy

Opory przepływu cieczy rzeczywistej; wzór Poiseuille’a; wyznaczanie współczynnika lepkości na podstawie ilości cieczy przepływającej przez kapilarę w funkcji czasu; porównanie wydajności przepływu bez uwzględnienia i z uwzględnieniem tarcia wewnętrznego cieczy w kapilarze

Prawo Stokesa; teoretyczne uzasadnienie zależności współczynnika lepkości od temperatury; pomiar czasu spadania kul w cieczy

16   Optyka i budowa materii

16.3   Optyka kwantowa układów nieliniowych

16.4   Optyka kwantowa - stany ściśnione

16.5   Dekoherencja w optyce

16.6   Dzielniki wiązki i inteferometry

16.8   Załamanie i polaryzacja światła

_images/17.8.2.png

Polarymetr.

Wyznaczanie współczynnika załamania światła w szkle metodą kąta najmniejszego odchylenia Zasada Fermata, załamanie światła, prawo Snelliusa. Badanie skręcenia płaszczyzny polaryzacji Polaryzacja światła, substancje aktywne optycznie, skręcenie płaszczyzny polaryzacji.

17   Procesy nieliniowe w układach biologicznych

17.1   Jednowymiarowe modele ciągłe dynamiki populacyjnej.

_images/malthus.jpg

Thomas Robert Malthus (1766-1834)

Modele jednowymiarowe:: ofiary-drapieżnika, model Malthusa, Verhulsta oraz z drapieżcą:

17.2   Modele oddziałujących populacji: układ Lotki-Volterry.

_images/lotka_volterra.png

Populacja drapieżników i ofiar w czasie.

... w modelu tym rozważamy 2 populacje: “ofiary” i “drapieżniki”. “ofiary” mogą rozmnażać się i umierać śmiercią naturalaną. Ponadto “ofiary” giną śmiercią tragiczną zjadane przez “drapieżników”, które to rozmnażają się i umierają śmiercią naturalną (niestety) ...

Modele ofiara-drapieżca: Lotki-Volterry oraz Maya:

17.3   Modele dyskretne dynamiki populacyjnej: chaos deterministyczny.

_images/logistyczne.png

Diagram difurkacyjny równania logistycznego

Równanie logistyczne jest to wersja dyskretna modelu Verhulsta. Ma ono jednak radykalnie inne i o wiele ciekawsze własności! Skąd wynika wersja dyskretna? Pytanie jest typu: co było pierwsze: jajko czy kura?

17.4   Kinetyka reakcji chemicznych

_images/enzym.png

Rozwiązanie kinetyki reakcji enzymatycznej

Kinetyka zajmuje się przewidywaniem zmian stężeń substratów i produktów reakcji chemicznych w czasie, Równanie kinetyczne to zazwyczaj równanie różniczkowe opisujące zmiany stężenia molowego reagentów w czasie zachodzenia reakcji chemicznej. W tym materiale będziemy badań takie równania, w tym słynny model reakcji enzymatycznek Michaelisa-Menten.

Kinetyka Reakcji Chemicznych:

17.5   Równania reakcji z dyfuzją. Fale biologiczne. Modele ekspansji i inwazji gatunków.

_images/fisher_kologomorow.png

Rozwiązanie równania Fishera-Kologomorowa w 1d

Uwzględnienie zjawisk związanych z przestrzennymi zmianami modeluje się z pomocą równań różniczkowych cząstkowych (występują pochodne ze względu na zmienne przestrzenne). Poniższy materiał przybliży nam sposób takiego modelowania.

Modele Reakcji z Dyfuzją:

17.6   Modele epidemii; model Kermacha-McKendricka.

_images/epidemia2d_random_media.gif

Model Kermacka-McKendricka w przestrzeni dwuwymiarowej w losowym ośrodku.

Opis czasowego rozchodzenia się infekcji w populacji na przykładzie modelu Kermacka-McKendricka. Rozszerzenie modelu na przestrzenne rozchodzenie się epidemii.

Modele epidemii:

17.7   Reakcje Biełousowa-Żabotyńskiego.

_images/oregonator_excitable.png

Portret fazowy Oregonatora w reżimie “wzbudliwym”, który prowadzi o rozwiązań typu spirale jeśli reakcja będzie w przestrzeli limitowana dyfuzją.

Analiza uproszczonego modelu - tzw. Oregonatora, reakcji Biełousowa-Żabotynskiego. Portret fazowy, analiza rozwiązań, pojawienie się cykli granicznych. Badanie tworzenia się struktur przestrzennych w reakcji BZ z dyfuzją w dwóch wymiarach.

Reakcja Biełousowa-Żabotynskiego:

18   Programowanie

18.1   C/C++ w obliczeniach naukowych: “C for python users”

Opracowanie stanowi “primer” programowania w języku C/C++ w zastosowaniach naukowych, dla osób posiadających podstawy programowania w języku Python.

18.2   Python w obliczeniach naukowych (wykorzystanie bibliotek numpy i scipy).

Python w obliczeniach naukowych (biblioteki numpy i scipy) Wykorzystanie języka Python do obliczeń naukowych i inżynierskich

18.3   IPython jako interaktywne środowisko programistyczne

18.4   Wykorzystanie narzędzi wizualizacyjnych klasy matplotlib.

Wykorzystanie narzędzi wizualizacyjnych klasy matplotlib Wizualizacja wyników pomiarów przeprowadzanych w ramach pracowni fizycznej za pomocą biblioteki Matplotlib/

18.5   Wizualizacja danych przestrzennych: VTK, Vpython.

_images/19.5.1.png

Grafika w OpenGL utworzona z Vpython-em.

Wizualizacja danych przestrzennych: Vpython Primer wykorzystania biblioteki Vpython do wizualizacji danych przestrzennyc w dydaktyce fizyki.

18.6   Python - programowanie zorientowane obiektowo

Wstęp do programowania zorientowanego obiektowo z wykorzystaniem języka Python.

19   Programowanie równoległe

19.1   Praktyczny wstęp do programowania na GPU

19.3   Równania różniczkowe zwyczajne i stochastyczne GPU

19.4   Metody implementacji rówań różniczkowych cząstkowych na GPU

20   Technologia informacyjna

20.1   Wstęp do Matlab/Octave (lub alternatywnie Python+numpy+matplotlib).

20.2   Sage jako kalkulator.

Podstawowe sposoby wykorzystania pakietu Sage.

20.3   Elementy programowania w Python

Instrukcje sterujące i funkcje, listy, krotki, słowniki, pętle for i while, istrukcja if, operatory warunkowe, funkcje (def, lambda), wyrażenia symboliczne, wyrażenia listowe.

20.4   Wizualizacja danych: wykresy dwu i trójwymiarowe.

20.5   Zastosowanie algebry komputerowej (CAS) w naukach ścisłych.

20.6   Wektoryzacja obliczeń: pakiet numpy.

21   Termodynamika i fizyka statystyczna

21.1   Gaz idealny i rzeczywisty, symulacje.

21.2   Fluktuacje termiczne i ruchy Browna

21.3   Zjawisko dyfuzji

21.4   Gazy sieciowe i model Isinga.

21.5   Kondensacje Bosego-Einsteina

21.6   Eksperymentalne badanie przejść fazowych

_images/22.6.2.png

Pomiar zależności temperatury wrzenia wody od ciśnienia Zależność ciśnienia pary nasyconej od temperatury, wzór Clausiusa-Clapeyrona. Wyznaczanie napięcia powierzchniowego cieczy metodą rurek włoskowatych i metodą rozrywania warstwy powierzchniowej Siły międzycząsteczkowe, napięcie powierzchniowe.

21.7   Układy cząstek identycznych - statystyka B-E i F-D.

21.8   Termodynamika idealnych gazów kwantowych

22   Wstep do informatyki kwantowej

22.1   Kwantowa Teleportacja

22.3   Dynamik kwantowa: dekoherencja

22.4   Kwantowe korelacje qubitów

22.5   Kwantowe Systemy Otwarte: kanały kwantowe

22.6   Splątanie kwantowe a dekoherencja

22.7   Bramki kwantowe

23   Astronomia

23.1   Prawa Keplera

23.2   Fizyka gwiazd

_images/radiancja.png

Radiancja spektralna gwiazd.

Kiedy oglądamy nocne niebo, wszystkie gwiazdy wydają się nam po prostu białe. Jeśli jednak spojrzymy na niebo przez lornetkę lub teleskop, zaobserwujemy coś zupełnie nieoczekiwanego - różnice w kolorach i odcieniach gwiazd. Na pytania dotyczące typów widmowych gwiazd odpowiemy analizując prawo Wiena oraz rozkład Plancka promieniowania ciała doskonale czarnego.

23.3   Astronomia obserwacyjna

24   Wstęp do astrofizyki

24.1   Problem N-ciał oddziałujących grawitacyjnie (Newtonowsko) - symulacje numeryczne w tym mógłby być też problem ruchu cząstek próbnych i fotonów w metryce Schwarzschilda

_images/nbody.png

Symulacja dynamiki N=1500 ciał oddziałujących grawitacyjnie w 2 wymiarach, po lewej stan początkowy a po prawej po 100 krokach.

24.2   Ograniczony problem trzech ciał

_images/3cial_pot.png

Potencjał efektywny Jacobiego w ograniczonym problemie 3-ciał.

24.3   Modele rozkładu masy w galaktykach

_images/galaktyki_spiralne.png

Galaktyka spiralna widziana z boku - zdjęcie z Teleskopu Hubble’a oraz matematyczny model dysku Miyamoto.

24.4   Soczewki grawitacyjne punktowe i rozciągłe, kaustyki i powstawanie wielokrotnych obrazów

_images/Profile.png

(rys.) Soczewka grawitacyjna LRG 3-757 (tzw. Horseshoe Einstein Ring). Kąt ugięcia światła przy różnych profilach radialnych zrzutowanego rozkładu masy soczewki.

24.5   Modele kosmologiczne jako układy dynamiczne - metoda portretów fazowych

_images/3cases.png

Portrety fazowe dynamiki płaskich modeli kosmologicznych Friedmana-Robertsona-Walkera dla róźnych wartości stałej kosmologicznej.

24.6   Problem 2 ciał

_images/V_eff.png

Potencjał efektywny w newtonowskim problemie 2 ciał.

24.7   Krzywe rotacji i problem ciemnej materii

_images/NGC7331.png

Problem płaskich krzywych rotacji - standardowym oczekiwaniem byłby ich spadek z odległością od centrum galaktyki. Krzywa rotacji galaktyki NGC 7331 - na podstawie danych obserwacyjnych.

24.8   Mikrosoczewkowanie

_images/Light_curve.png

Teoretycznie przewidywane krzywe blasku mikrosoczewkowania grawitacyjnego oraz obserwowane zjawisko mikrosoczewkowania OGLE-2005-BLG-015.






25   Wstęp do fizyki atomowej i molekularnej

25.1   Atomistyczne symulacje komputerowe

Podstawy teoretyczne symulacji dynamiki molekularnej Modelowanie oddziaływań, energia potencjalna układu, algorytmy całkowania równań ruchu, energia kinetyczna i temperatura, zagadnienia związane z praktyczną implementacją algorytmu dynamiki molekularnej.

25.2   Symulacje komputerowe z wykorzystaniem NAMD i VMD

Symulacje komputerowe z wykorzystaniem NAMD i VMD Praktyczne aspekty konfiguracji i zarządzania symulacją dynamiki molekularnej z wykorzystaniem oprogramowania NAMD i VMD

25.3   Badanie przejść fazowych prostych układów metodą dynamiki molekularnej

_images/26.3.1.png

Badanie przejść fazowych prostych układów metodą dynamiki molekularnej Modelowanie oddziaływań, periodyczne warunki brzegowe, algorytm dynamiki molekularnej, temperatura i termostat, ciśnienie i barostat, badanie przejścia fazowego ciecz - ciało stałe prostego układu atomistycznego

25.4   Spektroskopia molekularna.

26   Wstęp do fizyki cząstek elementarnych

26.1   Rozpraszanie Bhabhy

Jednym z ważniejszych procesów w Fizyce Wysokich Energii jest rozpraszanie elektron pozyton, tzw. rozpraszanie Bhabhy.

26.2   Zastosowana systemów algebry komputerowej w obliczeniach teoretycznych.

26.3   Oscylacje neutrin

W połowie lat 60. XX wieku w wyniku licznych eksperymentów okazało się, że do Ziemi dociera o wiele mniej neutrin słonecznych niż przewidziano w obliczeniach teoretycznych. Problem ten ostatecznie rozwiązano dopiero w 2002 roku, a jego zaskakujące konsekwencje świadczące o oscylacji neutrin doprowadziły do nowych odkryć w fizyce cząstek elementarnych.

27   Wstęp do fizyki fazy skondensowanej

27.1   Modelowanie oddziaływań w ciele stałym za pomocą potencjału ABOP

_images/26.1.1.png

Modelowanie oddziaływań w ciele stałym za pomocą potencjału ABOP. Wykorzystanie potencjału typu ABOP do modelowania oddziaływań w ciele stałym, atomistyczne symulacje komputerowe.

27.2   Sieci krystaliczne, sieć odwrotna.

27.3   Ciepło właściwe.

Pomiar ciepła właściwego powietrza metodą rozładowania kondensatora. Energia zgromadzona w naładowanym kondensatorze, ciepło właściwe powietrza.

27.5   Fonony w sieci jedno- i dwuatomowej.

Pomiar przewodności cieplnej izolatorów. Charakterystyka transportu ciepła w izolatorach. Wyznaczanie współczynnika rozszerzalności liniowej ciał stałych. Charakterystyka rozszerzalności liniowej ciał stałych, współczynnik rozszerzalności liniowej. Pomiar przewodnictwa cieplnego metalu dla długiego pręta Przewodnictwo cieplne ciał stałych, transport ciepła wzdłuż pręta.

28   Biofizyczne aspekty wzrostu i rozwoju roślin

28.1   Modelowanie wzrostu roślin.

Oscylacyjny model wzrostu łagiewek pyłkowych, propozycja rozwiązania w oparciu o mechanizm geometrycznej frustracji symetrii.

28.2   Zagadnienia proliferacji komórek, wzrost organów roślinnych.

Zastosowanie tensora wzrostu do modelowania wzrostu liścia arabidopsis i anizotropii wzrostu w dwóch wymiarach.

28.3   Kwasowa teoria wzrostu, rola białek (ekspansyny) we wzroście roślin.

Szczególne rozwiązania równania Ortegi dla regularnego wzrostu komórki roślinnej dla modelu interkalacji polimerów w ścianę komórkową oraz aktywności ekspansyny.

29   Chemia teoretyczna

29.1   Konstrukcja orbitali atomowych i molekularnych w oparciu o funkcje bazowe typu Gaussa.

29.2   Struktura atomów wieloelektronowych w ujęciu prostych metod obliczeniowych chemii kwantowej; termy atomowe.

29.3   Wyznaczanie krzywych energii potencjalnej dla wybranych cząsteczek dwuatomowych.

29.4   Symulacja widm elektronowych w zakresie UV/VIS z użyciem metod funkcjonałów gęstości dla cząsteczek organicznych i nieorganicznych.

29.5   Optymalizacja geometrii i wyznaczanie własności molekularnych dużych molekuł z zastosowaniem metody DFT.

29.6   Oddziaływania międzycząsteczkowe na gruncie chemii kwantowej.

29.7   Postulaty mechaniki kwantowej

30   Chemometria

30.1   Analiza czynników głównych, algorytm PCA.

30.2   Wieloparametrowa kalibracja sygnałów NIR z zastosowaniem metody PCR

30.3   Zastosowania iteracyjnej metody najmniejszych kwadratów w chemii.

30.4   Analiza wariancji metodą ANOVA.

31   Modelowanie molekularne

31.1   Standardy wymiany informacji strukturalnych.

_images/VisAbs_ChMmolek_01_z33.png

31.2   Notacja liniowa, kody SMILES/SMARTS.

_images/VisAbs_ChMmolek_02_z34.png

31.3   Eksploracja baz danych.

_images/VisAbs_ChMmolek_03_z35.png

31.4   Generowanie struktur 2D/3D.

_images/VisAbs_ChMmolek_04_z262.png

31.5   Deskryptory molekularne.

_images/VisAbs_ChMmolek_05_z36.png

31.6   Analiza SAR/QSAR.

_images/VisAbs_ChMmolek_06_z37.png

31.7   Dokowanie molekularne.

_images/VisAbs_ChMmolek_07_z263.png

© iCSE 2013

Spis treści

Poprzedni temat

Materiały dydaktyczne

Ta strona